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Reihen

Reihe einer Folge​

Bei einer reellen Folge a1,a2,a3,...a_1, a_2, a_3,... wird die zugehoörige Folge der Teilsummen sns_n eine Reihe der Folge ana_n genannt: sn=a1+a2+a3+...+an=∑k=1∞aks_n = a_1+a_2+a_3+... +a_n = \sum^{\infty}_{k=1}{a_k} sns_n wird auch nn−te Teilsumme der Folge ana_n genannt.

Unendliche Reihe besitzt unendlich viele Glieder. Also wenn ∑∞\sum^{\infty}

Konvergenz​

Konvergent Reihe = wenn eine Reihe den Grenzwert lim⁡n→∞sn=s=∑k=1∞ak\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{s_n}=s=\sum^{\infty}_{k=1}{a_k} eine nicht-konvergente Reihe heisst divergent. Notwendiges Konvergenzkriterium für Reihen Damit eine Reihe überhaupt konvergent sein kann, muss die entsprechende Folge eine Nullfolge sein. Ist sie nicht eine Nullfolge so it die REihe garantiert divergent.

Rechenregeln für konvergente Reihen​

Sind ∑k=1∞ak\sum^{\infty}_{k=1}{a_k} und ∑k=1∞bk\sum^{\infty}_{k=1}{b_k} konvergente Reihen so gilt:

  1. ∑k=1∞c∗ak=c∗∑k=1∞ak\sum^{\infty}_{k=1}{c*a_k}=c* \sum^{\infty}_{k=1}{a_k} für c∈Rc \in R
  2. ∑k=1∞ak±bk=∑k=1∞ak±∑k=1∞bk\sum^{\infty}_{k=1}{a_k\pm b_k}=\sum^{\infty}_{k=1}{a_k}\pm \sum^{\infty}_{k=1}{b_k}

Geometrische Reihe​

Reihe einer [[2-Folgen#Geometrsiche Folge]]] hat die Form:

∑k=1∞a1∗qk−1=a1∗(a+q+q2+...)=a1∗(1−qn)1−q\sum^{\infty}_{k=1}{a_1*q^{k-1}}=a_1*(a+q+q^2+...)= {{a_1*(1-q^n)} \over 1-q} für q∈R,q≠0q\in R, q\neq 0

Konvergenz einer geometrischen Reihe​

Eine geometrische Reihe ist für alle q∈Rq \in R und ∣q∣<1|q| < 1 konvergent mit dem Grenzwert: a11−qa_1\over 1-q. Für ∣q∣≥1|q|\geq 1 ist die geometrsiche Reihe divergent.