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Ableitungsregeln

Konstantenregel​

Die Ableitung einer Konstanten ist 0. f(x)=C⇒f′(x)=0,C∈Rf(x)=C \Rightarrow f'(x)=0, C \in R

Faktorregel​

Beim Ableiten einer Funktion, bleibt ein konstanter Faktor k∈Rk \in R vor einer Funktion unverändert erhalten. g(x)=k∗f(x)⇒g′(x)=k∗f′(x)g(x)=k*f(x) \Rightarrow g'(x)=k*f'(x)

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen​

  • f(x)=sin(x)⇒f′(x)=cos(x)f(x)=sin(x) \Rightarrow f'(x)=cos(x)
  • f(x)=cos(x)⇒f′(x)=−sin(x)f(x)=cos(x) \Rightarrow f'(x)=-sin(x)
  • f(x)=tan(x)⇒f′(x)=1cos2(x)=1+tan2(x)f(x)=tan(x) \Rightarrow f'(x)={1\over cos^2(x)}=1+tan^2(x) für x≠(2k+1)π2x \neq (2k+1){\pi \over 2}
  • f(x)=cot(x)⇒f′(x)=−1sin2(x)=−1−cot2(x)f(x)=cot(x) \Rightarrow f'(x)=- {1\over sin^2(x)}=-1-cot^2(x) für x≠kπx \neq k \pi

Potenzregel​

Die [[4-Funktionen#Potenzfunktion]] f(x)=xnf(x) = x^n ist für alle x∈Rx \in R differenzierbar. f(x)=xn⇒f′(x)=nxn−1,n∈Zf(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}, n \in Z

![[Pasted image 20211024162633.png]]

Summenregel​

Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen. s(x)=f(x)±g(x)⇒s′(x)=f′(x)±g′(x)s(x)=f(x)\pm g(x) \Rightarrow s'(x)=f'(x) \pm g'(x)

![[Pasted image 20211024162805.png]]

Produktregel​

f(x)=u(x)∗v(x)⇒f′(x)=u′(x)∗v(x)+u(x)∗v′(x)f(x)=u(x)* v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

![[Pasted image 20211024163316.png]]

Allgemeine Produktregel​

Allgemein gilt für die Ableitung eines Produktes aus nn Faktoren. f(x)=u1∗u2∗...∗un⇒f′(x)=u1′∗u2∗...un+u1∗u2′∗..∗un+...+u1∗u2∗...∗un′f(x)=u_1*u_2*...*u_n \Rightarrow f'(x)=u'_1*u_2*...u_n+u_1*u'_2*..*u_n+...+u_1*u_2*...*u'_n So wäre: (uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw' und (uvwz)′=u′vwz+uv′wz+uvw′z+uvwz′(uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'

Quotientenregel​

f(x)=u(x)v(x)⇒f′(x)=u′(x)∗v(x)−u(x)∗v′(x)v(x)2f(x)={u(x)\over v(x)} \Rightarrow f'(x)={{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}\over v(x)^2}

![[Pasted image 20211024164435.png]]

Kettenregel​

Unter der Verkettung der Funktionen gg und hh versteht man die Nacheinanderausführung der Funktionen. Man wendet die äussere Funktion gg auf das Ergebnis der inneren Funktion hh. Also von innen nach aussen. f(x)=g(h(x))  ⟺  f(x)=(g∘h)(x)f(x)=g(h(x)) \iff f(x)=(g \circ h)(x)

Man setzt für die innere Funktion: z=h(x)z=h(x) so dass sich für die äussere Funktion f=g(z)=g(h(x))f=g(z)=g(h(x))

f(x)=g(h(x))⇒f′(x)=g′(z)∗h′(x)f(x)=g(h(x)) \Rightarrow f'(x)=g'(z)*h'(x)

![[Pasted image 20211024170605.png]]

Ableitung der Exponentialfunktion​

f(x)=eg(x)⇒f′(x)=g′(x)∗eg(x)f(x)=e^{g(x)} \Rightarrow f'(x)= g'(x)* e^{g(x)}

![[Pasted image 20211024171328.png]]

Ableitung der Logarithmusfunktion​

f(x)=loga(x)⇒f′(x)=1x∗ln(a)f(x)=log_a(x) \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{x * ln(a)} wenn f(x)=ln(x)⇒f′(x)=1xf(x)=ln(x) \Rightarrow f'(x)= \frac{1}{x}

![[Pasted image 20211024171755.png|100]]

Ableitung der Umkehrfunktion​

Die Funktion f(x)f(x) sei differenzierbar mit der Ableitung f′(x)f'(x) und besitzt die Umkehrfunktion x=g(y)x = g(y). Die Ableitung der Umkehrfunktion g(y)g(y) ist g′(y)=1f′(x)g'(y)={1\over f'(x)}

![[Pasted image 20211024172038.png]]