Kurvendiskussion anhand von Ableitungen

Monotonie

Die erste Ableitung an der Stelle $x_0$ beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion $f$ in der unmittelbaren Umgebung der Stelle $x_0$

$$f'(x_0)=\begin{dcases} <0 \Rightarrow \text{Funktion fällt, streng monoton fallend} \\ >0 \Rightarrow \text{Funktion wächst, streng monoton wachsend} \end{dcases}$$

![[Pasted image 20211024212936.png]]

![[Pasted image 20211024213308.png]]

Krümmung

![[Pasted image 20211024213445.png]] Die zweite Ableitung an der Stelle $x_0$ be-schreibt das Krümmungsverhalten einer Funktion $f$ in der unmittelbaren Umgebung der Stelle $x_0$:

f''(x_0)=\begin{dcases} <0 \Rightarrow \text{Rechtskrümmung, Steigung nimmt ab} \\ <0 \Rightarrow \text{Linkskrümmung, Steigung nimmt zu}wachsend} \end{dcases}

Konkav

Ist $f''(x) < 0 \Rightarrow f'(x)$ ist streng monoton fallend $\Rightarrow f(x)$ ist konkav (Rechtsgekrümmt).

Konvex

Ist $f''(x) > 0 \Rightarrow f'(x)$ ist streng monoton wachsend $\Rightarrow f(x)$ ist konvex (linksgekrümt).

Extremwerte

Lokales Maximum

Ist $f'(x_0)=0 und f''(x_0)<0$, dann ist x_0 ein lokales Maximum.

Lokales Minimum

Ist $f'(x_0)=0 und f''(x_0)>0$, dann ist x_0 ein lokales Minimum.

![[Pasted image 20211024220630.png]]

Wendepunkte und Sattelpunkte

![[Pasted image 20211024220732.png]] Ist $f''(x_0)=0 und f'''(x_0)\neq 0$, dann ist $x_0$ ein Wendepunkt. Wenn zusätzlich noch $f'(x_0)=0$, dann ist $x_0$ zusätzlich noch ein Sattelpunkt.

![[Pasted image 20211024220936.png]]